Simulación y Visualización

Deformaciones no-Paramétricas 3D Aplicadas a la Morfometría de Estructuras Anatómicas

Descripción General

La visualización y análisis de las características funcionales y anatómicas de algunas estructuras puede facilitarse mediante modelos tridimensionales obtenidos por segmentación a partir de imágenes de tomografía computarizada (CT, Computer Tomography) o resonancia magnética (MR, Magnetic Resonance). La determinación de longitudes y áreas en estas superficies se dificulta debido a la intrincada geometría de algunas estructuras anatómicas, como la corteza cerebral, órganos huecos como el colon, etc. En el caso de la corteza cerebral, la compleja e intrincada forma de algunas circunvoluciones y cisuras no permite calcular de manera exacta el valor de las áreas funcionales, tal como se muestra en la figura. Sin embargo, algunas de estas aplicaciones morfométricas pueden simplificarse si las mediciones se realizan sobre otra superficie más suave con una topología similar y que conserve las métricas lo más posible.

El objetivo principal de este proyecto consiste en la formulación, implementación y validación de un modelo que deforme superficies 3D y cuya principal restricción es que preserve métricas tales como áreas y longitudes. Este modelo facilitará el desarrollo de estudios morfométricos.

Objetivos

Revisar la literatura existente y determinar los principales modelos que deforman superficie

Estudiar las medidas, determinar su comportamiento en deformaciones de superficies y escoger las más convenientes para los estudios morfométricos.

Proponer un modelo original para deformación de superficies y validarlo con respecto a la preservación de medidas.

Desarrollar una aplicación que permita visualizar el proceso de simplificación de la superficie, así como calcular las medidas en la superficie original y en la simplificada.

Equipo de trabajo

Director: Eduardo Romero, Ph.D.

Investigadora responsable: Andrea del Pilar Rueda Olarte

Colaboradores: Francisco Gómez; Álvaro Perea y Daniel Rodríguez (UNED-Madrid)

Antecedentes

Las deformaciones de superficies 3D han sido exploradas en los últimos 20 años, en aplicaciones tales como la animación computarizada, el modelamiento de materiales y el análisis de estructuras anatómicas en imágenes médicas. La primera referencia a este tipo de problemas la constituye el obtener una representación plana de una superficie curva, como por ejemplo una esfera. Este problema fue estudiado por Gauss hacia 1828, quien mostró que, debido a la diferencia entre las curvaturas Gaussianas de la superficie curvada y su representación en el plano, no era posible solucionarlo de manera totalmente exacta.

Los estudios en esta área inician hacia 1988 con los modelos deformables, aquellos en los que un contorno bidimensional o una superficie tridimensional se hacen evolucionar hasta que toman la forma de otro contorno o superficie objetivo. Este tipo de modelos fueron introducidos por Kass et al. en 2D [22] y extendidos al caso 3D por Terzopoulos et al. [35]. Los campos de acción en los cuales se aplican los modelos deformables cubre desde el reconocimiento de patrones, animación computarizada, simulación de cirugías, y la segmentación de imágenes, entre otras [28]. También se utilizan diferentes representaciones para generar desde líneas 3D deformables hasta volúmenes deformables.

Los modelos para deformar superficies reseñados en la literatura más reciente pueden clasificarse en tres tipos primordiales: Modelos que aplanan una superficie, modelos que suavizan la geometría de la superficie y métodos de mapeo de superficies; como se muestra en la figura.

Aplanar una Superficie

El objetivo de estos métodos es el de obtener representaciones planas de una superficie curvada, es decir, que todos los puntos de la superficie 3D puedan ser ubicados en un plano 2D respetando las relaciones de vecindad. Este es el primer problema que se consideró en deformación de superficies, dada su similaridad con el problema de elaborar mapas. La solución a este problema, presentada en [31], puede considerarse una aproximación muy primitiva pero válida por ser la pionera. Entre los desarrollos más recientes se incluyen: parametrizaciones [13], método de circle packings [18, 19], basado en voxeles [14], modelo spring-mass [26, 37] y modelo woven mesh [36].

La cantidad de puntos de la superficie original se conserva en la representación en el plano, pero las distancias, ángulos y áreas se afectan significativamente entre más compleja y curva sea la superficie. En esas situaciones se considera un elemento adicional, las líneas de corte, que ayudan a corregir la distorsión en las métricas, garantizando que la representación plana corresponderá de mejor forma con la superficie inicial. En algunas aproximaciones iniciales, estas líneas de corte las podía estimar el usuario de forma manual. Ya más recientemente, Wang et al. presentan en [38] un método para automatizar esta labor.

Alisar una Superficie

Con los modelos que suavizan la geometría de la superficie se obtiene una representación alisada, que conserva la forma 3D pero elimina los picos y valles demasiados pronunciados. El proceso de suavizado puede generar una superficie con menos puntos, con lo que se reduce el espacio en disco que ocupa la representación y el tiempo de procesamiento de la misma. Algunas de las aproximaciones más relevantes en este campo corresponden a: parametrizaciones [23,24,32], aproximación por level sets [17,34], estimación de la velocidad [30] y líneas de cresta [33].

Mapear una Superficie

Con la aplicación de los métodos de mapeo de superficies se busca proyectar todos los puntos de la superficie 3D en otra de geometría más simple y con las mismas características topológicas, la cual generalmente corresponde a una esfera o una elipsoide. La fundamentación primordial de estos métodos es la geometría de superficies de Riemann, que afirma que cualquier superficie sin hoyos o intersecciones consigo misma puede mapearse de forma conforme en una esfera, y cualquier porción de la superficie puede mapearse en un disco [15].

El objetivo principal de estos métodos es determinar un mapa conforme entre la superficie y la esfera, pero varían las formas de llegar a este mapeo. Se pueden encontrar métodos que aplican elementos finitos [1,15], así como el mapeo conforme por mínimos cuadrados [21,25], aplicaciones de la geometría diferencial [39] y determinación de una fuerza de expansión [10].
Modelos Deformables en Medicina.

La visualización y análisis de las características funcionales y anatómicas de algunas estructuras corporales se puede facilitar con modelos tridimensionales obtenidos por segmentación a partir de imágenes de tomografía o resonancia magnética. La determinación de longitudes y áreas en estas superficies puede dificultarse debido a la intrincada geometría de algunas estructuras anatómicas, como la corteza cerebral, órganos huecos como el colon, etc.

Con base en los métodos de deformación de superficies se construyen paquetes de software que permiten a los profesionales de la salud analizar de una manera más precisa y segura las estructuras anatómicas de sus pacientes, así como establecer comparaciones entre ellas. Utilizando los métodos para aplanar superficies se pueden analizar vasos sanguíneos con el fin de detectar y visualizar patologías como estenosis y pólipos [41], así como el interior del estómago [29].

Dentro de la medicina, el área con mayor número de publicaciones sobre deformación de superficies es la relativa a las estructuras cerebrales, debido a la importancia de la corteza cerebral en los análisis morfométricos. La aplicación de estos métodos permite la identificación de cambios en los surcos del cerebro debidos a tumores u otras patologías. También facilitan la visualización de las diferentes áreas funcionales del cerebro [8, 12], así como la determinación de distancias y otras medidas. En el área de análisis de las propiedades funcionales y estructurales de la corteza cerebral se destacan los trabajos de David Van Essen et al. [3,5–9,16,20] y Bruce Fischl et al. [4,10–12]. En estos trabajos se busca el desarrollo de un conjunto de herramientas computacionales que faciliten a los profesionales de la medicina el uso de métodos de visualización y análisis basados en la superficie cortical. Algunas de las herramientas desarrolladas por estos investigadores son SureFit, Caret y SuMS, las cuales permiten al usuario realizar diversos análisis sobre superficies de la corteza cerebral y aplicar operaciones como suavizado, transformaciones geométricas, proyecciones, aplanado y otras deformaciones.

Metodología

1. El desarrollo del proyecto abarca la formulación y validación de un modelo de deformación con preservación de áreas, el cual se probará directamente en superficies 3D. La investigación se desarrollará en las siguientes fases:
2. Exploración inicial: El desarrollo del proyecto requiere una fase inicial de exploración, análisis e implementación de algunos de los modelos para deformación de superficies reseñados en la literatura más reciente. Esto permite evaluar el comportamiento de las medidas en las superficies simplificadas y determinar las características de la solución esperada.
3. Determinación de las medidas: Cualquier método para simplificar una superficie 3D es incapaz de preservar de forma exacta todas las posibles medidas a la vez. De esta forma, es necesario estudiar cada una de las métricas y su comportamiento bajo escenarios de deformación, tomando como fundamento los métodos implementados en la exploración inicial. Con los resultados de este análisis, se determinarán las medidas más relevantes para los análisis morfométricos.
4. Modelo de deformación: Para definir el comportamiento de la superficie durante este proceso, se formulará un modelo de deformación basado principalmente en la preservación local del área. El comportamiento de este modelo se validará sobre superficies 3D, para verificar la preservación de las métricas y proceder a su implementación.
5. Validación de los modelos: La evaluación de los modelos con respecto a la restricción en la preservación del área se realizará de la siguiente manera:
   • Precisión: corresponde al recíproco de la varianza la cual, en el caso de la deformación de superficies, se evalúa como la diferencia entre el área de la superficie original y la deformada
   • Costo: corresponde al tiempo requerido para obtener la superficie deformada
   • Eficiencia: representa la precisión ofrecida por unidad de costo
   • Confiabilidad: es el rango de variabilidad del error estándar de la media producido por deformaciones de la misma estructura en diferentes sujetos
   • Eficiencia relativa: se evalúa la eficiencia de cada superficie deformada contra el error aditivo de deformar todas las superficies
6. Cálculo de las medidas: La implementación de los modelos debe complementarse con procedimientos que calculen el valor de las medidas escogidas sobre curvas y superficies. Estos pueden implementarse aprovechando las facilidades proveídas por la librería que se utilice para procesar la superficie.
7. Durante el transcurso del proyecto, y de forma paralela, se desarrollará una aplicación que permita la visualización de la superficie 3D y del proceso de deformación de la misma, y que además ofrezca al usuario la funcionalidad para el cálculo del conjunto de métricas. La metodología de desarrollo de software escogida para la implementación de esta herramienta es la construcción de prototipos de forma evolutiva, con el fin de que, en cada etapa del proyecto, el aplicativo provea la funcionalidad básica para la validación y pruebas.

Avance actual

Dentro de las actividades realizadas hasta la fecha como parte del desarrollo del proyecto se encuentran:

Elaboración y publicación del estado del arte: En la Revista MED, de la Facultad de Medicina de la Universidad Militar Nueva Granada, se publicó el artículo  Morfometría de Superficies Complejas Usando Deformaciones no-Paramétricas, que reseña los principales modelos de deformación de superficies encontrados en la literatura actual. (ver Publicaciones)

Revisión e implementación de modelos recientes: Se revisó e implementó el modelo de deformación planteado por Fischl et al. en [10], actualizando iterativamente la posición de los puntos de la superficie de acuerdo a fuerzas radiales y de suavizado:

Formulación e implementación de un nuevo modelo de deformación con preservación local de áreas: En la actualidad el trabajo se concentra en la formulación, verificación e implementación de un modelo de deformación de superficies que involucre la preservación local de áreas.

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